Question

【題目】已知函數和同時滿足以下兩個條件：

（1）對于任意實數，都有或；

（2）總存在，使成立．

則實數的取值范圍是 __________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由于g（x）=≥0時，x≥3，根據題意有f（x）=m（x﹣m）（x+2m+3）＜0在x≥3時成立；由于x∈（﹣∞，﹣1），f（x）g（x）＜0，而g（x）=3x﹣3＜0，則f（x）=m（x﹣m）（x+2m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）時成立．由此結合二次函數的性質可求出結果．

對于①∵g（x）=，當x＜3時，g（x）＜0，

又∵①x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0

∴f（x）=m（x﹣m）（x+2m+3）＜0在x≥3時恒成立

則由二次函數的性質可知開口只能向下，且二次函數與x軸交點都在（3，0）的左面，

即 可得﹣3＜m＜0

又∵②x∈（﹣∞，﹣1），f（x）g（x）＜0

∴此時g（x）=＜0恒成立

∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）有成立的可能，

則只要﹣1比x1，x2中的較小的根大即可，

（i）當﹣1＜m＜0時，較小的根為﹣2m﹣3，f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）有成立的可能，

（ii）當m=﹣1時，兩個根同為﹣1，f（x）<0在區間內恒成立，故不滿足題意。

（iii）當﹣3＜m＜﹣1時，較小的根為m，f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣1）有成立的可能，

綜上可得①②成立時﹣3＜m＜﹣1或-1<m<0.

故答案為：．