Question

如圖5，四棱錐中，底面為矩形，底面，，分別為的中點(diǎn)

（1）求證：面；
（2）若，求與面所成角的余弦值

Answer 1

（1）見解析（2）AC與平面AEF所成角的正弦值為

方法一：


（1）取PA中點(diǎn)G, 連結(jié)FG, DG


 ……(6分)
⑵設(shè)AC, BD交于O，連結(jié)FO.

設(shè)BC=a, 則AB=a, ∴PA=a, DG=a=EF, ∴PB=2a, AF=a.
設(shè)C到平面AEF的距離為h.
∵V_C－AEF=V_F－ACE, ∴ 
即 ∴ 
∴AC與平面AEF所成角的正弦值為.
即AC與平面AEF所成角為         …（12分）
方法二：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的長為單位，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
（1）證明：
設(shè)，其中，則，
，

又，
        …（6分）
（2）解：由得，
可得
，
則異面直線AC，PB所成的角為，
，
又，AF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線，
，
AC與平面AEF所成的角為，
即AC與平面AEF所成的角為        …（12分）