Question

已知在平面直角坐標系xoy中，向量

j

=(0，1)，△OFP的面積為2

3

，且

OF

•

FP

=t，

OM

=

3

3

OP

+

j

．
（I）設4＜t＜4

3

，求向量

OF

與

FP

的夾角θ的取值范圍；
（II）設以原點O為中心，對稱軸在坐標軸上，以F為右焦點的橢圓經過點M，且|

OF

|=c，t=(

3

-1)c2，當|

OP

|取最小值時，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由2

3

=

1

2

|

OF

|•|FP|•sinθ，得|

OF

|•|

FP

|=

4 3

sinθ

，由cosθ=

OF • FP

| OF |•| FP |

=

tsinθ

4 3

，得tanθ=

4 3

t

.由此可求出夾角θ的取值范圍．
（2）設P(x0，y0)，則

FP

(x0-c，y0)，

OF

=(c，0).由題設條件導出|

OP

|=

x 2 0 + y 2 0

=

( 3 c)2+( 4 3 c )2

≥

2 3 c• 4 3 c

=2

6

，由此可求出橢圓的方程．

解答：解：（1）由2

3

=

1

2

|

OF

|•|FP|•sinθ，得|

OF

|•|

FP

|=

4 3

sinθ

，
由cosθ=

OF • FP

| OF |•| FP |

=

tsinθ

4 3

，得tanθ=

4 3

t

.
∵4＜t＜4

3

∴1＜tanθ＜

3

∵θ∈[0，π]
∴夾角θ的取值范圍是（

π

4

，

π

3

）
（2）設P(x0，y0)，則

FP

(x0-c，y0)，

OF

=(c，0).∴

OF

•

FP

=(x0-c，y0)•(c，0)=(x0-c)c=t=(

3

-1)c2∴x0=

3

c
S△OFP=

1

2

|

OF

|•|y0|=2

3

∴y0=±

4 3

c

∴|

OP

|=

x 2 0 + y 2 0

=

( 3 c)2+( 4 3 c )2

≥

2 3 c• 4 3 c

=2

6

∴當且僅當

3

c=

4 3

c

，即c=2時，|

OP

|取最小值2

6

，此時，

OP

=(2

3

，±2

3

)
∴

OM

=

3

3

(2

3

，2

3

)+(0，1)=(2，3)
或

OM

=

3

3

(2

3

，-2

3

)+(0，1)=(2，-1)
橢圓長軸2a=

(2-2)2+(3-0)2

+

(2+2)2+(3-0)2

=8∴a=4，b2=12
或2a=

(2-2)2+(-1-0)2

+

(2+2)2+(-1-0)2

=1+

17

∴a=

1+ 17

2

，b2=

1+ 17

2

故所求橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
或

x2

9+ 17 2

+

y2

1+ 17 2

=1

點評：本題綜合考查橢圓的性質及其應用，解題要認真審題，仔細解答．