Question

【題目】定義在上的函數，若滿足:對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界

（1）設，判斷在上是否是有界函數，若是，說明理由，并寫出所有上界的值的集合；若不是，也請說明理由.

（2）若函數在上是以為上界的有界函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是有界函數;（2）

【解析】

（1）分離常數后,可得函數的單調性,在區間內求得最大值與最小值,即可根據有界函數的定義求得的取值范圍.

（2）根據有界函數定義,可得的值域.代入解析式可分離得的不等式組.利用換元法轉化為二次不等式形式,結合恒成立條件,即可求得的取值范圍.

（1）

則在上單調遞增

所以對任意滿足

而

所以

若恒成立,則

即所有上界的值的集合為

（2）函數在上是以為上界的有界函數

根據有界函數定義,可知在上恒成立

所以

即

化簡變形可得

令

則在上恒成立

即滿足

由二次函數性質可知,,當時,

,所以當時,

即,

故的取值范圍為