Question

已知橢圓的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且的面積．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點、，且線段恰被直線平分？若存在，求出的斜率取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（I）橢圓的方程為.（Ⅱ）存在滿足題設條件的直線，且的斜率取值范圍是
.

試題分析：（Ⅰ）由題意知：.，且，由此可求得，，二者相加即得，從而得橢圓的方程. （Ⅱ）假設這樣的直線存在，且直線的方程為，設與橢圓的兩交點為、，若線段恰被直線平分，則.這顯然用韋達定理.由得．
由得．再用韋達定理得，代入得，再將此式代入得一只含的不等式，解此不等式即得的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）由題意知：，                       （1分）
橢圓上的點滿足，且，
．
，．
．                           （2分）
又．                          （3分）
橢圓的方程為．                           （4分）
（Ⅱ）假設這樣的直線存在．與直線相交，直線的斜率存在.
設的方程為，                               （5分）
由得．（*）     （6分）
直線與橢圓有兩個交點，
（*）的判別式，即．①  （7分）
設、，則．　         （8分）
被直線平分，可知，
，． ②　　　         （9分）
把②代入①，得，即．     （10分）
，．                                  （11分）
或．即存在滿足題設條件的直線，且的斜率取值范圍是
．                               （12分）