Question

已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程組成方程組，即可求的值。（Ⅱ）由橢圓方程可知。可分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，為了省去討論也可直接設(shè)直線方程為。與橢圓聯(lián)立方程，消去整理可得關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)橛袃蓚�(gè)交點(diǎn)即方程有兩根，所以判別式應(yīng)大于0。然后用韋達(dá)定理得根與系數(shù)的關(guān)系。求面積時(shí)可先求截得的弦長(zhǎng)，再求點(diǎn)到直線的距離，從而可求面積（此種方法計(jì)算量過(guò)大）。另一方法求面積：可用轉(zhuǎn)化思想將分解成兩個(gè)小三角形，即。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824033600809874.png" style="vertical-align:middle;" />，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問(wèn)題。
試題解析：解：（Ⅰ）由題意，橢圓的方程為.    1分
將點(diǎn)代入橢圓方程，得，解得.
所以 橢圓的方程為.                          3分
（Ⅱ）由題意可設(shè)直線的方程為：.
由得.
顯然 .
設(shè)，，則               7分
因?yàn)?的面積，其中.
所以 .
又，
.                                         9分
.
當(dāng)時(shí)，上式中等號(hào)成立.
即當(dāng)時(shí)，的面積取到最大值.                 11分