Question

(本題滿分12分，第Ⅰ小題4分，第Ⅱ小題5分，第Ⅲ小題3分)
如圖，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.
（Ⅰ）求證：平面⊥平面;
（Ⅱ）求二面角的大小;
（Ⅲ）求三棱錐的體積.

Answer 1

(Ⅰ)略 (Ⅱ)   （Ⅲ）

解法一：
（Ⅰ）∵
∴，又∵∴…（4分）
（Ⅱ）取的中點，則，連結，
∵，∴，從而
作，交的延長線于，連結，則由三垂線定理知，，
從而為二面角的平面角
直線與直線所成的角為   ∴
在中，由余弦定理得
在中，
在中，
在中，
故二面角的平面角大小為…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，為正方形
∴……（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一…（4分）
（Ⅱ）在平面內，過作，建立空間直角坐標系（如圖）
由題意有，設，
則
由直線與直線所成的解為，得
，即，解得
∴，設平面的一個法向量為，
則，取，得
平面的法向量取為，設與所成的角為，則
顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的平面角大小為
（Ⅲ）取平面的法向量取為，則點A到平面的距離
∵，∴…（12分）