Question

如圖，在四棱錐中，側面

是正三角形，且與底面垂直，底面是邊長為2的菱形，，是中點，過、、三點的平面交于． 
(1)求證：；   (2)求證：是中點；(3)求證：平面⊥平面.

Answer 1

(1)略    (2)略      (3)略

證明：（1）連結，，設，連結    
∵是的菱形 ∴是中點，又是中點，∴， 又，     ∴                                   
（2）依題意有 ∴平面， 而平面平面     
∴， ∴，（或證∥平面）    ∴        
又是中點   ∴是中點
（3）取AD中點E，連結,,,如右圖
∵為邊長為2的菱形，且，∴為等邊三角形，又為的中點
∴ ，又∵，∴⊥面，∴AD⊥PB， 又∵，為的中點，∴，∴平面而平面                                
∴平面平面