Question

已知函數，（其中為常數）；
（Ⅰ）如果函數和有相同的極值點，求的值；
（Ⅱ）設，問是否存在，使得，若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）記函數，若函數有5個不同的零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（1）對函數f（x）求導可得，由，可得得或，而在處有極大值，從而可得a；（2）假設存在，即存在x∈(?1，)，使得f（x）-g（x）＞0，由x∈(?1，)，及a＞0，可得x-a＜0，則存在x∈(?1，)，使得，結合二次函數的性質求解；（3）據題意有f（x）-1=0有3個不同的實根，g（x）-1=0有2個不同的實根，且這5個實根兩兩不相等．g（x）-1=0有2個不同的實根，只需滿足⇒a＞1或a＜?3；有3個不同的實根，從而結合導數進行求解.
試題解析：（Ⅰ），則，
令，得或，而在處有極大值，∴，或；綜上：或．               （3分）
（Ⅱ）假設存在，即存在，使得
，
當時，又，故，則存在，使得， （4分）
當即時，得，；      （5分）
當即時，得，  （6分）
無解；綜上：．                                   （7分）
（Ⅲ）據題意有有3個不同的實根，有2個不同的實根，且這5個實根兩兩不相等．
（ⅰ）有2個不同的實根，只需滿足；   （8分）
（ⅱ）有3個不同的實根，
當即時，在處取得極大值，而，不符合題意，舍；    （9分）
當即時，不符合題意，舍；
當即時，在處取得極大值，；所以；  （10分）
因為（ⅰ）（ⅱ）要同時滿足，故；（注：也對）      （11分）
下證：這5個實根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時成立；
若存在使得，
由，即，得，
當時，，不符合，舍去；
當時，既有  ①；
又由，即 ②；   聯立①②式，可得；
而當時，沒有5個不同的零點，故舍去，所以這5個實根兩兩不相等．
綜上，當時，函數有5個不同的零點．          （14分）