Question

已知函數，．

（Ⅰ）若曲線在與處的切線相互平行，求的值及切線斜率；
（Ⅱ）若函數在區間上單調遞減，求的取值范圍；
（Ⅲ）設函數的圖像C₁與函數的圖像C₂交于P、Q兩點，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C_1、C₂于點M、N，證明：C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線不可能平行．

Answer 1

(Ⅰ)，；(Ⅱ) ；(Ⅲ)見解析.

試題分析：(Ⅰ)由已知條件“曲線在與處的切線相互平行”可知，曲線在這兩處的切線的斜率相等，求出曲線的導數，根據求出的值及切線斜率；(Ⅱ)有已知條件“函數在區間上單調遞減”可知，在區間上恒成立，得到，則有，依據二次函數在閉區間上的值域，求得函數在區間的值域是，從而得到；(Ⅲ)用反證法，先假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，設，，則有，分別代入函數與函數的導函數，求得①，結合P、Q兩點是函數的圖像C₁與函數的圖像C₂的交點，則坐標滿足曲線方程，將①化簡得到，設，，進行等量代換得到，存在大于1的實根，構造函數，結合導函數求得函數在區間是單調遞減的，從而，得出矛盾.
試題解析：(Ⅰ)，
則，
∵在與處的切線相互平行，
∴，即，解得，
.
(Ⅱ)∵在區間上單調遞減，
∴在區間上恒成立，
則，即，
∵，∴，
∴.
(Ⅲ)，，
假設有可能平行，則存在使，
，
不妨設，，
則方程存在大于1的實根，設，
則，∴，這與存在使矛盾．