Question

【題目】已知橢圓的焦距為2，左、右頂點分別為，是橢圓上一點，記直線的斜率為，且有.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點，以為直徑的圓經過原點，且線段的垂直平分線在軸上的截距為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）依題意，，，設，則有，根據，即可求解的值，得到橢圓的方程；（2）將直線代入橢圓的方程，設，運用韋達定理和中點公式，以及兩條直線垂直的條件；斜率之積為，化簡整理，解方程求得，進而得到所求直線的方程．

試題解析：（1）依題意，，，

設，則有，即，

，，

，，

即橢圓的方程為；

（2）設，的中點為，

聯立得到，

①

，，， ②

因為以為直徑的圓經過原點，所以，，，

，，

化簡得 ③

將②式代入得到代入①式得到，

由于線段的垂直平分線經過點，，

將②代入得到 ④

聯立③④得或1，因為，所以，.

所以直線的方程為.