Question

【題目】如圖，A，B，C的坐標分別為（﹣ ，0），（ ，0），（m，n），G，O′，H分別為△ABC的重心，外心，垂心．

（1）寫出重心G的坐標；
（2）求外心O′，垂心H的坐標；
（3）求證：G，H，O′三點共線，且滿足|GH|=2|OG′|．

Answer 1

【答案】
（1）解：重心G的坐標為（ ， ）
（2）解：設外心O′，垂心H的坐標為（0，a），（m，b），BC的中點為D，

∵A，B，C的坐標分別為（﹣ ，0），（ ，0），（m，n），

∴ =（m﹣ ，n），D的坐標為（ + ， ），

∴ =（ + ， ﹣a）， =（m+ ，b），

由 ，

則 ，

即 ，

∴外心O′的坐標為（0， ），垂心H的坐標為（m， ）

（3）證明：由（1）（2）可知 =（ ， ），

=（ ， ），

得 =2 ，

∴G，H，O′三點共線，且滿足|GH|=2|OG′|

【解析】（1）根據重心坐標公式即可求出，（2）設外心O′，垂心H的坐標為（0，a），（m，b），根據向量的坐標運算得到 =（m﹣ ，n），D的坐標為（ + ， ）， =（ + ， ﹣a）， =（m+ ，b），由題意得到由 ，化簡計算得到即 ，即可求出外心O′，垂心H的坐標；（3）根據向量的坐標運算得到 =2 ，根據向量的共線條件即可證明．