Question

【題目】已知函數f（x）=（kx+a）ex的極值點為﹣a﹣1，其中k，a∈R，且a≠0．
（1）若曲線y=f（x）在點A（0，a）處的切線l與直線y=|2a﹣2|x平行，求l的方程；
（2）若a∈[1，2]，函數f（x）在（b﹣ea ， 2）上為增函數，求證：e2﹣3≤b＜ea+2．

Answer 1

【答案】
（1）解：當k=0時，f（x）無極值，故k≠0．

由f'（x）=（kx+a+k）ex=0，

得 ，

∴a+k=ak+k．

∵a≠0，∴k=1．

∵f'（0）=a+1=|2a﹣2|，∴a=3或 ．

當a=3時，f（x）=（x+3）ex，f（0）=3，

∴l的方程為y=4x+3．

當 時， ， ，

∴l的方程為

（2）證明：由題可知f'（x）=（x+a+1）ex≥0對x∈（b﹣ea，2）恒成立，

∵ex＞0，∴x+a+1≥0，即x≥﹣a﹣1對x∈（b﹣ea，2）恒成立，

∴﹣a﹣1≤b﹣ea，即b≥ea﹣a﹣1對a∈[1，2]恒成立．

設g（a）=ea﹣a﹣1，a∈[1，2]，則g'（a）=ea﹣1＞0，

∴g（a）在[1，2]上遞增，∴ ，∴b≥e2﹣3．

又（b﹣ea＜2，∴e2﹣3≤b＜ea+2

【解析】（1）求出函數的導數，求出k的值，從而求出a的值，帶入a的值，求出切線方程即可；（2）問題轉化為x≥﹣a﹣1對x∈（b﹣ea ， 2）恒成立，根據﹣a﹣1≤b﹣ea ， 即b≥ea﹣a﹣1對a∈[1，2]恒成立，設g（a）=ea﹣a﹣1，a∈[1，2]，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．