Question

（09年通州調研四）（14分）在正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是AB、A₁D₁、C₁D₁的中點（如圖）。

（1）求證：B₁G⊥CF；

（2）若P是A₁B₁上的一點，BP∥平面ECF，求A₁P∶A₁B₁的值。

Answer 1

解析：（1）證明：連C₁F，

∵A₁B₁C₁D₁是正方形，F、G分別是A₁D₁、C₁D₁的中點

∴C₁F⊥B₁G

∵ABCD―A₁B₁C₁D₁是正方體

∴CC₁⊥B₁G

∵C₁F ∩CC₁=C₁

∴B₁G⊥平面CC₁F

而CF是平面CC₁F內的直線

∴B₁G⊥CF

（2）解：延長CE與DA延長線相交于M，連FM與AA₁相交于點Q，連EQ，過B點作BP∥EQ與A₁B₁的交點即為所求的點P。

∵CE延長線與DA延長線相交于M

∴M平面CEF中的點，FM平面CEF，EQ平面CEF

∵BP∥EQ

∴BP∥平面ECF，且P在A₁B₁上即為所求。

∵E是AB的中點，AB∥CD

∴AE∥CD，且等于CD的一半

∴A是DM的中點

過F作AD的垂線，垂足是AD的中點記為F₁,

FF₁∶AQ=F₁M∶AM=,QA=AA₁

∵BP∥EQ

∴△AEQ∽△B₁PB

AE∶AQ=B₁P∶B₁B=∶=3∶4

∴A₁P∶A₁B₁=