Question

如圖,正三棱錐S—ABC的側棱長為1,∠ASB=45°,M和N分別是棱SB和SC上的點,求△AMN周長的最小值.

Answer 1

解析:將正三棱錐沿側棱SA剪開,然后將其側面展開在一個平面上,連結AA′.

設AA′與SB交于M,交SC于N點,顯然△AMN的周長l=AM+MN+NA′≥AA′,也就是說當AM、MN、NA(NA′)在一條直線上時,對應的截面三角形周長最短,則AA′的長就是截面△AMN周長的最小值.

∵SA=SA′=1,∠ASB=∠BSC=∠CSA′=45°,則∠ASA′=3×45°=135°

在△ASA′中,AA′=

=.

∴△AMN周長的最小值為.