Question

【題目】如果對一切實(shí)數(shù)x、y，不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞， ]
B.[3，+∞）
C.[﹣2 ，2 ]
D.[﹣3，3]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：實(shí)數(shù)x、y，不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立 + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立， 令f（y）= + ，
則asinx+1﹣sin2x≤f（y）min ，
當(dāng)y＞0時，f（y）= + ≥2 =3（當(dāng)且僅當(dāng)y=6時取“=”），f（y）min=3；
當(dāng)y＜0時，f（y）= + ≤﹣2 =﹣3（當(dāng)且僅當(dāng)y=﹣6時取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；
綜上所述，f（y）min=3．
所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．
①若sinx＞0，a≤sinx+ 恒成立，令sinx=t，則0＜t≤1，再令g（t）=t+ （0＜t≤1），則a≤g（t）min ．
由于g′（t）=1﹣ ＜0，
所以，g（t）=t+ 在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，
因此，g（t）min=g（1）=3，
所以a≤3；
②若sinx＜0，則a≥sinx+ 恒成立，同理可得a≥﹣3；
③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；
綜合①②③，﹣3≤a≤3．
故選：D．
將不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣ 恒成立轉(zhuǎn)化為 + ≥asinx+1﹣sin2x恒成立，構(gòu)造函數(shù)f（y）= + ，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是問題轉(zhuǎn)化為asinx﹣sin2x≤2恒成立．通過對inx＞0、sinx＜0、sinx=0三類討論，
可求得對應(yīng)情況下的實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案．