Question

【題目】已知函f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x． ①討論f（x）的單調性；
②設a＞0，證明：當0＜x＜ 時， ；
③函數y=f（x）的圖象與x軸相交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0 ， 證明f′（x0）＜0．

Answer 1

【答案】解：①函數f（x）的定義域為（0，+∞）， f'（x）= ﹣2ax+（2﹣a）=﹣ ，
（i）當a＞0時，則由f'（x）=0，得x= ，
當x∈（0， ）時，f'（x）＞0，當x∈（ ，+∞）時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0， ）單調遞增，在（ ，+∞）上單調遞減；
（ii）當a≤0時，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）單調遞增；
②設函數g（x）=f（ +x）﹣f（ ﹣x），
則g（x）=[ln（ +x）﹣a（ +x）2+（2﹣a）（ +x）]﹣[ln（ ﹣x）﹣a（ ﹣x）2+（2﹣a）（ ﹣x）]=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g'（x）= + ﹣2a= ，
當x∈（0， ）時，g'（x）＞0，而g（0）=0，
∴g（x）＞g（0）=0，
故當0＜x＜ 時，f（ +x）＞f（ ﹣x）；
③由①可得，當a≤0時，函數y=f（x）的圖象與x軸至多有一個交點，
故a＞0，從而f（x）的最大值為f（ ），且f（ ）＞0，
不妨設A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），0＜x1＜x2 ， 則0＜x1＜ ＜x2 ，
由②得，f（ ﹣x1）=f（ ﹣x1）＞f（x1）=f（x2）=0，
又f（x）在（ ，+∞）上單調遞減，
∴ ﹣x1＜x2 ， 于是x0= ＞ ，
由①知，f'（ x0）＜0
【解析】①求出函數f（x）的定義域，然后在定義域內分a＞0，a≤0兩種情況解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函數的單調區間；②設函數g（x）=f（ +x）﹣f（ ﹣x），只需證明g（x）＞0即可，進而轉化為利用導數求函數的最值；③由①易判斷a≤0時不滿足條件，只需考慮a＞0時情形，由①可得f（x）的最大值為f（ ），且f（ ）＞0，設A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），0＜x1＜x2 ， 則0＜x1＜ ＜x2 ， 由②可推得f（ ﹣x1）＞f（x1）=f（x2）=0，借助函數單調性可得結論；
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．