Question

已知函數f(x)=1+

1

x-1

，g(x)=f(2|x|)．
（I）求函數f（x）和g（x）的定義域；
（II）函數f（x）和g（x）是否具有奇偶性，并說明理由；
（III）證明函數g（x）在（-∞，0）上為增函數．

Answer 1

分析：（1）根據分式函數及指數函數的定義域的判定，可知函數f（x）和g（x）的定義域；
（2）根據奇偶性的定義，由f（x）的定義域為{x|x≠1}可知函數f（x）為非奇非偶函數，判斷g（-x）與g（x）之間的關系，即可判斷函數g（x）的奇偶性；
（3）利用原始的定義進行證明，在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要證g（x₂）＞g（x₁）就可以可，把x₁和x₂分別代入函數g （x）進行證明．

解答：解：（I）g(x)=f(2|x|)=1+

1

2|x|-1

，
∵2^|x|-1≠0⇒x≠0又1-x≠0⇒x≠1
函數f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠1}
函數g（x）的定義域{x|x∈R且x≠0}…（5分）
（II）由f（x）的定義域為{x|x≠1}可知函數f（x）為非奇非偶函數，
又g(-x)=1+

1

2|-x|-1

=1+

1

2|x|-1

=g(x)，
且函數g（x）的定義域{x|x∈R且x≠0}的定義域關于原點對稱，
∴g（x）為偶函數…（10分）
（III）設x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂
g(x1)-g(x2)=

1

2|x1|-1

-

1

2|x2|-1

=

2|x2|-2|x1|

(2|x1|-1)(2|x2|-1)

，
∵x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴|x₁|＞|x₂|＞0
所以2|x1|＞2|x2|，2|x2|-2|x1|＜0，
2|x1|-1＞0，2|x2|-1＞0⇒g(x1)＜g(x2)
根據函數單調性的定義知  函數g（x）在（-∞，0）上為增函數…（15分）

點評：此題主要考查分式函數及指數函數的定義域、奇偶性和單調性，解題的關鍵是利用定義進行證明，是一道基礎題．