Question

對n∈N^*，不等式

x＞0 y＞0 y≤-nx+2n

所表示的平面區域為D_n，把D_n內的整點（橫坐標與縱坐標均為整數的點）按其到原點的距離從近到遠排成點列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n）．
（1）求x_n，y_n；
（2）數列{a_n}滿足a₁=x₁且n≥2時，an=yn(

1

2y1

+

1

2y2

+

1

2y3

+…+

1

2yn

)，求數列{a_n}的前n項和S_n；
（3）設c₁=1，當n≥2時，cn=lg[2

y

2 _

•(1-

1

y 2 2

)•(1-

1

y 2 3

)•(1-

1

y 2 4

)•…•(1-

1

y 2 n

)]，且數列{c_n}的前n項和T_n，求T₉₉．

Answer 1

分析：（1）畫出可行域，結合圖形寫出x_n，y_n
（2）利用等比數列的前n項和公式求出a_n；利用錯位相減法和等差數列的前n項和公式求出S_n
（3）先化簡C_n，再利用裂項相消法求出T₉₉

解答：解：（1）

x＞0 y＞0 y≤-nx+2n

的可行域為
如圖示，x_n=1，y_n=n
（2）由題意可知：a₁=1，a_n=n(

1

21

+

1

22

+

1

23

++

1

2n

)
故an=n(1-

1

2n

)=n-

n

2n

記cn=

n

2n

，則S′n=1×

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

++n×

1

22

1

2

S′n=1×

1

22

+2×

1

23

+3×

1

24

++n×

1

2n+1

兩式相減得：

1

2

S′n=

1

2

+(

1

22

+

1

23

+

1

24

++

1

2n

)-n×

1

2n+1

1

2

S′n=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n×

1

2n+1

=1-

1

2n

-n×

1

2n+1

故S′n=2-(2+n)

1

2n

故數列{a_n}的前n項的和為：Sn=

n(n+1)

2

+2-(2+n)

1

2n

（3）當n≥2時，cn=lg[2(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)(1-

1

n2

)]
=lg[2×

1×3

22

×

2×4

32

×

3×5

42

××

(n-2)n

(n-1)2

×

(n-1)(n+1)

n2

]
=lg

n+1

n

=lg（n+1）-lgn
T₉₉=1+（lg3-lg2）+（lg4-lg3）+（lg5-lg3）++（lg100-lg99）
=1+2-lg2
=3-lg2．

點評：本題考查畫不等式組表示的平面區域；數列求和的方法：錯位相減法、公式法、裂項相消法．