Question

（2007•黃岡模擬）對n∈N^*，不等式

x＞0 y＞0 y≤-nx+2n

所表示的平面區域為D_n，把D_n內的整點（橫坐標與縱坐標均為整數的點）按其到原點的距離從近到遠排成一列點：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₄），…，（x_n，y_n）
（1）求x_n，y_n
（2）若an=3n+λ•(-xn)n-1•2yn（λ為非零常數），問是否存在整數λ，使得對任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n．

Answer 1

分析：（1））由-nx+2n＞0得x=1，從而得知D_n內的整點都落在直線x=1上且y≤n，因此D_n內的整點按其到原點的距離從近到遠排成的點列為：（1，1），（1，2），（1，3），…，（1，n），從而得x_n=1，y_n=n；
（2）由（1）知an=3n+λ•(-xn)n-1•2yn=3n+λ•(-1)n-1•2n，先求出a_n+1-a_n的表達式，然后分n為奇數和偶數來討論，當n為奇數時，得λ＜1，當n為偶數時，得λ＞-

3

2

 ，又λ≠0且λ∈Z．得知λ=1符合題意．

解答：解：（1）-nx+2n＞0⇒x＜2，又x＞0且x∈N^*，∴x=1（1分）
故D_n內的整點都落在直線x=1上且y≤n，故D_n內的整點按其到原點的距離從近到遠排成的點列為：（1，1），（1，2），（1，3），…，（1，n），
∴x_n=1，y_n=n（5分）
（2）an=3n+λ•(-xn)n-1•2yn=3n+λ•(-1)n-1•2n，
∴a_n+1-a_n=3ⁿ⁺¹+λ•（-1）ⁿ•2ⁿ⁺¹-[3ⁿ+λ•（-1）^n-1•2ⁿ]=2•3ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ＞0
∴(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1…（*）                                      （8分）
當n=2k-1（k=1，2，3，…）時，（*）式即為λ＜(

3

2

)2k-2對k=1，2，3，…都成立，∴λ＜1（10分）
當n=2k（k=1，2，3，…）時，（*）式即為λ＞-(

3

2

)2k-1對k=1，2，3，…都成立，∴λ＞-

3

2

（12分）
∴-

3

2

＜λ＜1，又λ≠0且λ∈Z，
∴存在λ=-1，使得對任意n∈N^*，都有a_n+1＞a_n．                    （14分）

點評：此題考查簡單的平面區域知識，及函數的分類討論思想．