Question

已知點(diǎn)P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)和圓x2+y2=a2+b2的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3 +1

  2

• C．2
• D．

  3

  +1

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線基本量的平方關(guān)系，可得圓x²+y²=a²+b²的半徑為c，經(jīng)過F₁和F₂．由此可得Rt△PF₁F₂中，∠PF₁F₂=30°且∠PF₂F₁=60°，得到|PF₁|=

3

c且|PF₂|=c，再用雙曲線的定義及離心率公式即可算出該雙曲線的離心率．

解答：解：∵雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），其中c=

a2+b2

∵圓方程為x²+y²=a²+b²，即x²+y²=c²
∴該半徑等于c，且圓經(jīng)過F₁和F₂．
∵點(diǎn)P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1與圓x²+y²=a²+b²的交點(diǎn)，
∴△PF₁F₂中，|OP|=c=

1

2

|F₁F₂|，可得∠F₁PF₂=90°
∵∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，且∠PF₂F₁+∠PF₁F₂=90°
∴∠PF₁F₂=30°，且∠PF₂F₁=60°，由此可得|PF₁|=

3

c，|PF₂|=c
根據(jù)雙曲線定義，可得2a=|PF₁|-|PF₂|=（

3

-1）c
∴雙曲線的離心率e=

2c

2a

=

2

3 -1

=

3

+1
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線與圓相交，在已知焦點(diǎn)三角形中的角度關(guān)系下求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．