Question

已知A（2，-1），B（-1，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP

=m

OA

+n

OB

，其中m、n∈R，且2m²-n²=2，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（　　）

• A、焦距為

  3

  的橢圓
• B、焦距為2

  3

  的橢圓
• C、焦距為

  3

  的雙曲線
• D、焦距為2

  3

  的雙曲線

Answer 1

分析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），根據(jù)向量間的關(guān)系得到 m=x+y，n=x+2y，代入2m²-n²=2化簡(jiǎn)可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

解答：解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y ），∵點(diǎn)P滿足

OP

=m

OA

+n

OB

，其中m、n∈R，且2m²-n²=2，
∴（x，y ）=（2m-n，n-m），∴x=2m-n，y=n-m，∴m=x+y，n=x+2y，
∴2 （x+y）²-（x+2y）²=2，即

x2

2

-y2=1，表示焦距為2

3

的雙曲線，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，用代入法求軌跡方程，建立動(dòng)點(diǎn)P（x，y ）與m、n的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．