Question

曲線C：f（x）=ax³+bx²+cx+d關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，f（x）_極小=f（1）=-

2

3

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在曲線C上是否存在點(diǎn)P，使過P點(diǎn)的切線與曲線C除P點(diǎn)以外不再有其它公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：1）由函數(shù)f（x）圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，知對任意實(shí)數(shù)x有f（-x）=-f（x），由此能求出f（x）的解析式．
（2）由f'（x）=x²-1，得過P點(diǎn)的切線斜率為k及切線方程，與曲線C的方程聯(lián)立，考查解的個數(shù)，即得到正確的結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，
∴對任意實(shí)數(shù)x，有f（-x）=-f（x），
即-ax³+bx²-cx+d=-（ax³+bx²+cx+d），
∴2bx²+2d=0對任意x∈R都成立，
∴b=d=0；
又∵f（x）_極小=f（1）=-

2

3

，
∴f′（x）=3ax²+c，
即3a+c=0，且a+c=-

2

3

；
解得a=

1

3

，c=-1；
∴f（x）=

1

3

x³-x．
（2）∵f（x）=

1

3

x³-x，
∴f′（x）=x²-1，
∴過P點(diǎn)的切線斜率為k=f′（x₀）=x02-1，
∴切線方程為y-y₀=（x02-1）（x-x₀）①；
又點(diǎn)P（x₀，y₀）在曲線C上，∴y₀=

1

3

x03-x₀②；
曲線C：y=

1

3

x³-x③；
由①②③化簡得：

1

3

x³-x02x+

2

3

x03=0；
考查函數(shù)g（x）=

1

3

x³-x02x+

2

3

x03，
∵g′（x）=x²-x02，
當(dāng)x₀=0時，g′（x）≥0，g（x）是R上的增函數(shù)，有唯一零點(diǎn)x=x₀=0，
則過該點(diǎn)P（0，0）的切線y=-x與曲線C除P點(diǎn)以外不再有其它公共點(diǎn)．如圖，

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用問題以及利用導(dǎo)數(shù)求曲線上的斜率與切線方程問題，是綜合性強(qiáng)，難度大的題目．