Question

【題目】已知橢圓 ，斜率為 的動直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B．
（1）設M為弦AB的中點，求動點M的軌跡方程；
（2）設F1 ， F2為橢圓C在左、右焦點，P是橢圓在第一象限上一點，滿足 ，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ①， ②；

①﹣②得： ， ，即 ．

又由中點在橢圓內部得 ，

∴M點的軌跡方程為 ， ；

（2）解：由橢圓的方程可知：F1（﹣ ，0）F2（ ，0），P（x，y）（x＞0，y＞0）， =（﹣ ﹣x，﹣y）， =（ ﹣x，﹣y），

由 =（﹣ ﹣x，﹣y）（ ﹣x，﹣y）=x2﹣3+y2=﹣ ，即x2+y2= ，

由 ，解得： ，則P點坐標為 ，…

設直線l的方程為 ，

，整理得： ，由△＞0得﹣2＜m＜2，

則 ， ，…

， ，

∴ ．…

，

當且僅當m2=4﹣m2，即 時，取等號，

∴△PAB面積的最大值1．

【解析】（1）由由 ①， ②；①﹣②得： ， ，即 ，由M在橢圓內部，則 ，即可求得動點M的軌跡方程；（2）由向量數量積的坐標運算，求得P點坐標，求得直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，點到直線的距離公式及三角形的面積公式，根據基本不等式的性質，即可求得△PAB面積的最大值．