Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的函數，其導函數為f′（x）﹣f（x）＞1，f（0）=2016，則不等式f（x）＞2017ex﹣1（其中e為自然對數的底數）的解集為（ ）
A.（﹣∞，0）∪（0，+∞）
B.（2017，+∞）
C.（0，+∞）
D.（0，+∞）∪（2017，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：設g（x）=e﹣xf（x）+e﹣x，

則g′（x）=﹣e﹣xf（x）+e﹣xf′（x）﹣e﹣x=e﹣x[f'（x）﹣f（x）﹣1]，

∵f（x）﹣f′（x）＞1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＞0，

∴g′（x）＞0，

∴y=g（x）在定義域上單調遞增，g（0）=2017，

∵f（x）＞2017ex﹣1，∴e﹣xf（x）＞2017﹣e﹣x，

得到g（x）＞2017=g（0），

∴g（x）＞g（0），得x＞0，

∴f（x）＞2017ex﹣1的解集為（0，+∞），

故選：C．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．