Question

【題目】已知正項等比數(shù)列{an}滿足a1 ， 2a2 ， a3+6成等差數(shù)列，且a42=9a1a5 ，
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=（ an+1）an ， 求數(shù)列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設正項等比數(shù)列{an}的公比為q＞0，∵a1，2a2，a3+6成等差數(shù)列，∴2×2a2=a3+6+a1，又a42=9a1a5，

∴ ，解得a1=q=3．

∴an=3n．

（2）解：bn=（ an+1）an=（2n+1）3n．

∴數(shù)列{bn}的前n項和Tn=3×3+5×32+…+（2n+1）3n．

3Tn=3×32+5×33+…+（2n﹣1）3n+（2n+1）3n+1，

∴﹣2Tn=32+2×（32+33+…+3n）﹣（2n+1）3n+1= +3﹣（2n+1）3n+1=﹣2n3n+1，

∴Tn=n3n+1．

【解析】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．（2）bn=（ an+1）an=（2n+1）3n ． 再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】掌握數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．