Question

如圖，底面是矩形的四棱錐P—ABCD中AB=2，BC=，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD.
（1）證明：側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；
（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；

（3）求直線AB與平面PCD的距離．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析
（2）45°
（3）

本試題主要是考查了立體幾何中，面面垂直問(wèn)題，以及線面角的求解，和線面的距離的相關(guān)知識(shí)的理解和運(yùn)用。側(cè)重在判定定理和性質(zhì)定理的靈活運(yùn)用上。
（I）證明：在矩形ABCD中，BC⊥AB    又∵面PAB⊥底面ABCD側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB      ∴BC⊥側(cè)面PAB   又∵BC側(cè)面PBC    ∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC）       4分
（II）解：取AB中點(diǎn)E，連結(jié)PE、CE   又∵△PAB是等邊三角形   ∴PE⊥AB 
又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD     ∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角
    在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求
（Ⅲ）解：在矩形ABCD中，AB//CD     ∵CD側(cè)面PCD，AB側(cè)面PCD，∴AB//側(cè)面PCD
取CD中點(diǎn)F，連EF、PF，則EF⊥AB   又∵PE⊥AB    ∴AB⊥平面PEF  又∵AB//CD
∴CD⊥平面PEF  ∴平面PCD⊥平面PEF   作EG⊥PF，垂足為G，則EC⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=為所求.