Question

【題目】如圖，是邊長為2的正方形，平面，且．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）線段上是否存在一點，使二而角等于45°？若存在，請找出點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）存在點，當時，二面角所成角為．

【解析】

（Ⅰ）要證得結論只需證得平面即可，根據線面垂直判定定理可證得結論；

（Ⅱ）以為坐標原點建立空間直角坐標系，假設線段上存在一點滿足題意，利用二面角的向量求法可構造方程求得點坐標，得到的長.

（Ⅰ）平面，平面，平面，

，，

又，，平面，平面，

又平面，平面平面．

（Ⅱ）如圖所示，以為坐標原點建立空間直角坐標系，

，，，，，

，，

假設線段上存在一點滿足題意，設，，

軸平面，平面的一個法向量，

設平面的一個法向量為，而，，

則，令，則，，，

，

若二面角所成角為，，解得：，

存在點，當時，二面角所成角為．