Question

【題目】首屆世界低碳經濟大會在南昌召開，本屆大會以“節能減排，綠色生態”為主題．某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品．已知該單位每月的處理量最少為300噸，最多為600噸，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為 ，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品價值為200元．
（1）該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使該單位不虧損？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為 ，

∴二氧化碳每噸的平均處理成本為 ，

當且僅當 x= ，即x=300時等號成立，

故該單位月處理量為300噸時，才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為100元

（2）解：該單位每月能獲利．

設該單位每月獲利為S元，則

S=200x﹣y=﹣ x2+400x﹣45000=﹣ （x﹣400）2+35 000，

因為x∈[300，600]，所以S∈[15 000，35 000]．

故該單位每月獲利，最大利潤為35000元

【解析】（1）由題意月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似的表示為：y= x2﹣200x+45000，兩邊同時除以x，然后利用基本不等式從而求出最值；（2）設該單位每月獲利為S，則S=200x﹣y，把y值代入進行化簡，然后運用配方法進行求解