Question

【題目】已知函數 ，且 ，f（0）=0
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）的值域；
（3）求證：方程f（x）=lnx至少有一根在區間（1，3）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得 ， ，

解得，a=1，b=﹣1，所以，

（2）解：∵y=f（x）= ，∴分離2x得，2x= ，

由2x＞0，解得y∈（﹣1，1），

所以，函數f（x）的值域為（﹣1，1）

（3）解：令g（x）=f（x）﹣lnx= ﹣lnx，因為，

g（1）=f（1）﹣ln1= ＞0，

g（3）=f（3）﹣ln3= ﹣ln3＜0，

根據零點存在定理，函數g（x）至少有一零點在區間（1，3），

因此，方程f（x）﹣lnx=0至少有一根在區間（1，3）上

【解析】（1）根據f（1）和f（0）列方程，求出a，b；（2）由y= ，分離2x= ＞0，求得值域；（3）構造函數g（x）=f（x）﹣lnx，運用函數零點存在定理，確定函數在（1，3）存在零點．