Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設，，是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同的點，連結交橢圓于另一點，證明直線與軸相交于定點；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點的直線與橢圓交于，兩點，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

（Ⅰ）由題意知，
所以．即．
又因為，所以，．
故橢圓的方程為．…………………………………………4分
（Ⅱ）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為．
由 得．      ①
…………………………………………6分
設點，，則．
直線的方程為．
令，得．
將，代入，
整理，得．                  ②
由①得 ，代入②
整理，得．
所以直線與軸相交于定點．……………………………………9分
（Ⅲ）當過點直線的斜率存在時，設直線的方程為，且
，在橢圓上．
由 得．  
易知．
所以，，．
則．
因為，所以．
所以．
當過點直線的斜率不存在時，其方程為．
解得，．
此時．
所以的取值范圍是．……………………………………13分