Question

【題目】一動圓與圓外切，與圓內切．

（1）求動圓圓心的軌跡的方程．

（2）設過圓心的直線與軌跡相交于兩點，（為圓的圓心）的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）利用動圓與圓外切，與圓內切，可得 ，由橢圓定義知是以為焦點的橢圓，從而可得動圓圓心的軌跡的方程；（2）當最大時，也最大，內切圓的面積也最大，表示出三角形的面積，利用換元法，結合導數，可求得最值.

試題解析：（1）設動圓圓心為，半徑為，即可求得結論.

由題意，動圓與圓外切，與圓內切，，由橢圓定義知在為焦點的橢圓上，且，，動圓圓心的軌跡的方程為.

（2）如圖，設內切圓的半徑為，與直線的切點為，則三角形的面積 ，當最大時，也最大，內切圓的面積也最大，設，則

，由，得，解得，，令，則，且，有，令，則，當時，在上單調遞增，有，，即當時，有最大值，得，這時所求內切圓的面積為存在直線，的內切圓的面積最大值為.