Question

如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面，，為的中點(diǎn).

（1）證明：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

（1）.（2）二面角的余弦值為.
（3）點(diǎn)到平面的距離

解：（1）證明：取線段的中點(diǎn)，連接.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050552194528.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以且.
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050551945492.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面平面，所以平面，所以.
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則,

.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240505523971199.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以,
即
（2）為平面的一個(gè)法向量.
由（1）得：，.
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則

取，則   

所以
由圖可知：二面角是銳角二面角，
所以二面角的余弦值為.
（3）由（1）（2）可得：，為平面的一個(gè)法向量.
所以，點(diǎn)到平面的距離