Question

如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知,，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如圖乙），設點E，F分別為棱AC，AD的中點．

（1）求證：DC平面ABC；     
（2）設，求三棱錐A－BFE的體積．

Answer 1

（1）證明：見解析；（2）.

試題分析：（1）注意分析折疊前后變化的關系及不變化的關系.在圖甲中可得；
在圖乙中，可得AB⊥CD．根據DC⊥BC，即可得到DC⊥平面ABC．
（2）首先根據E，F分別為AC，AD的中點，得到EF//CD，根據（1）知，DC⊥平面ABC，得到EF⊥平面ABC，從而得到 
在圖甲中，根據給定角度及長度，計算“不變量”，得，BD=2，BC=，EF=CD=，
利用體積公式計算即得所求．
解答本題的關鍵是確定“垂直關系”，這也是難點所在，平時學習中，應特別注意轉化意識的培養，等體積轉化的方法，是立體幾何中常用方法之一.
（1）證明：在圖甲中∵且 ∴，
即                                     1分
在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ， 且平面ABD∩平面BDC＝BD
                          4分
又，，且，∴DC⊥平面ABC．           6分
（2）解：，                 7分
又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，                   8分
所以，                      9分
在圖甲中，
由得，，                   10分
，
              11分
                           12分