Question

在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D為線段BC上一點，，H是△ABC的垂心，且．
（Ⅰ）求點H的軌跡M的方程；
（Ⅱ）若過C點且斜率為的直線與軌跡M交于點P，點Q（t，0）是x軸上任意一點，求當△CPQ為銳角三角形時t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)H（x，y），A（x，y），則由知，AD是△ABC的高，所以x=x．由．由此能求出點H的軌跡M的方程．
（Ⅱ）役直線CP的方程為．由，解得點P的坐標為．由此進行分類討論，能求出當△CPQ為銳角三角形時t的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)H（x，y），A（x，y），
則由知，AD是△ABC的高，
∴x=x．
由．
∴A（x，4y）．…（1分）
∴．…（2分）
∵H是△ABC的垂心，，…（4分）
∴（3-x，-4y）•（x+3，y）=0，
即x²+4y²=9（y≠0）．…（6分）（y≠0漏寫扣1分）
（Ⅱ）直線CP的方程為．
由，
解得點P的坐標為．…（7分）
（i）∵，
∴當∠PCQ是銳角時，點Q只能在點C的左側(cè)，此時t＜3．…（8分）
（ii）當∠PQC為銳角時，k_PQ＞0，此時t＜0；…（9分）
（iii）當∠QPC為銳角時，，
即．…（11分）
∴．…（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．