Question

已知函數

（Ⅰ）若，求函數的極小值；

（Ⅱ）設函數，試問：在定義域內是否存在三個不同的自變量使得的值相等，若存在，請求出的范圍，若不存在，請說明理由？

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）至多只有一個解，故不存在

【解析】

試題分析：解：（I）由已知得，  2分

則當時，可得函數在上是減函數，

當時，可得函數在上是增函數，  5分

故函數的極小值為  6分

（II）若存在，設，則對于某一實數方程

在上有三個不等的實根，   8分

設，

則有兩個不同的零點．   10分

方法一：有兩個不同的解，設，

則，

設，則，故在上單調遞增，

則當時，即， 12分

又，則故在上是增函數，  13分

則至多只有一個解，故不存在． 14分

方法二：關于方程的解，

當時，由方法一知，則此方程無解,  11分

當時，可以證明是增函數，則此方程至多只有一個解，

故不存在． 14分

考點：導數的運用

點評：主要是考查了導數在研究函數單調性中的運用，以及方程根的問題的運用，屬于中檔題。