Question

【題目】（1）設橢圓與雙曲線有相同的焦點、，是橢圓與雙曲線的公共點，且△的周長為6，求橢圓的方程；我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”；

（2）如圖，已知“盾圓”的方程為，設“盾圓”上的任意一點到的距離為，到直線的距離為，求證：為定值；

（3）由拋物線弧（）與第（1）小題橢圓弧（）所合成的封閉曲線為“盾圓”，設過點的直線與“盾圓”交于、兩點，，，且（），試用表示，并求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），；，；.

【解析】

（1）由由的周長為得,由橢圓與雙曲線共焦點可得值,根據平方關系求得,進而即可得到橢圓方程；

（2）設“盾圓”上的任意一點的坐標為,,分為與兩種情況表示出,再分別計算,即可求得定值；

（3）由“盾圓”的對稱性,不妨設在軸上方（或軸上）,分類討論：時,在橢圓弧上；時,在拋物弧上,由條件可表示出此時,相應地, 再按時, 在拋物弧上,在橢圓弧上；當時,在橢圓弧上, 在拋物弧上；當時, 、在橢圓弧上,利用三角函數性質分別求出的范圍

（1）由的周長為得,橢圓與雙曲線有相同的焦點,所以,即,則,,則橢圓的方程為

（2）證明：設“盾圓”上的任意一點的坐標為,

當時,,,

即；

當時,,,

即；

所以為定值.

（3）顯然“盾圓”由兩部分合成,所以按在拋物弧或橢圓弧上加以分類,由“盾圓”的對稱性,不妨設在軸上方（或軸上）；

當時,,此時,；

當時,在橢圓弧上,由題設知代入得,,整理得,解得或（舍去）

當時,在拋物弧上,方程或定義均可得到,于是,

綜上,或；

相應地,,

當時, 在拋物弧上,在橢圓弧上,

；

當時,在橢圓弧上, 在拋物弧上,

;

當時, 、在橢圓弧上,

；

綜上, ，；，；

的取值范圍是