Question

【題目】已知函數，實數且

（1）設，判斷函數在上的單調性，并說明理由；

（2）若不等式對恒成立，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數在上單調遞增，證明見解析．（2）．

【解析】

（1）根據反比列函數的單調性，即可判斷在上的單調性，由函數的單調性的定義即可證明；

（2）依題有，在恒成立，即在恒成立．通過分離變量可知，在恒成立，再分別求出在上的最大值，在在上的最小值，解不等式組即可求出的范圍．

（1）函數的定義域為，

因為，，所以在和上單調遞增，而或，所以函數在上單調遞增．

設，，則

，

因為，所以或，

即，又，因此，，即．

故函數在上單調遞增．

（2）依題可得，在恒成立，即在恒成立．通過分離變量可知，在恒成立．

設，，

，所以在上單調遞減，故．

設，，

，所以在上單調遞增，故．

因此，解得，且．

故的范圍為．