Question

21、設函數f（x）=ax³-2x²+x+c（a＞0）．
（1）當a=1，且函數圖象過點（0，1）時，求函數f（x）的極小值；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上無極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數圖象上的點的坐標確定函數的解析式，利用導數研究函數的單調性從而求解極小值．
（2）函數f（x）無極值點轉化為函數在R上是單調的，即其導函數的符合不發生變化，利用二次函數的圖象和性質確定參數a的取值范圍．

解答：解：函數的導數f'（x）=3ax²-4x+1，
（1）函數圖象過點（0，1）時，有f（0）=c=1．
當a=1時，f'（x）=3x²-4x+1，令f'（x）=3x²-4x+1＞0，解得x＜

1

3

或x＞1．由f'（x）=3x²-4x+1＜0得，

1

3

＜x＜1．
所以函數f（x）在（-∞，

1

3

]，[1，+∞）上單調遞增，在[

1

3

，1]上單調遞減，所以函數的最小值為f（1）=1-2×1+1+1=1．
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上無極值點，則f（x）在（-∞，+∞）上是單調函數，即f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立．
①當a=0時，f'（x）=-4x+1，顯然不滿足條件．
②當a≠0時，f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立的充要條件是△≤0，
即（-4）²-4×3a×1≤0，即16-12a≤0，解得a≥

4

3

．
綜上，a的取值范圍為[

4

3

，+∞）．

點評：本題主要考查利用導數研究函數單調性和最值，屬于常考題型．