Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為

3

2

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設不過原點O的直線l與橢圓C交于兩點M、N，且直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，求△OMN面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得2a=2×2b，

c

a

=

3

2

，再由c²=a²-b²可解得a，b；
（2）設直線l的方程為：y=kx+m（k≠0，m≠0），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，得

y1

x1

•

y2

x2

=k2，變形后代入韋達定理可求出k值，由△＞0 得m的范圍，利用三角形面積公式表示出面積，根據(jù)m的范圍可得答案；

解答：解析：（1）由已知得

2a=2×2b c a = 3 2 c2=a2-b2

解得

a=2 b=1

，
所以橢圓C的方程：

x2

4

+y2=1；
（2）由題意可設直線l的方程為：y=kx+m（k≠0，m≠0），
聯(lián)立

y=kx+m x2 4 +y2=1

 消去y并整理，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
則△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
此時設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
又直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k²⇒-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
由m≠0得：k2=

1

4

⇒k=±

1

2

．
又由△＞0 得：0＜m²＜2，顯然m²≠1（否則：x₁x₂=0，則x₁，x₂中至少有一個為0，直線OM、ON中至少有一個斜率不存在，矛盾！）
設原點O到直線l的距離為d，則
S△OMN=

1

2

|MN|d=

1

2

×

|m|

1+k2

1+k2

|x1-x2|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

-(m2-1)2+1

，
故由m得取值范圍可得△OMN面積的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關系，考查三角形的面積公式，考查學生分析解決問題的能力．