Question

若圓過點且與直線相切，設圓心的軌跡為曲線，、為曲線上的兩點，點，且滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若，直線的斜率為，過、兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線，求圓的方程；

（3）分別過、作曲線的切線，兩條切線交于點，若點恰好在直線上，求證：與均為定值.

Answer 1

21.解：（1）依題意,點到定點的距離等于到定直線的距離，所以點的軌跡為拋物線，曲線的方程為；       …………………………………………………………3分

（2）直線的方程是,即，

由得點、的坐標是或，………………………………5分

當、時，由得,，

 所以拋物線在點處切線的斜率為，

直線的方程為，即…………①

線段的中點坐標為，中垂線方程為，即…………②

由①、②解得，       …………………………………………………………7分

于是，圓的方程為，

即  ， ………………………………………………………8分

當、時，拋物線在點處切線的斜率為，此時切線與垂直，所求圓為以為直徑的圓，可求得圓為，  ……9分

（3）設，,，過點的切線方程為，

即，同理可得，所以,，……10分

又=，所以直線的方程為，

即,亦即,所以，………………………………………11分

而,，所以

.               …………………………………13分