Question

（2011•濰坊二模）如圖，在七面體ABCDMN中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB與ND交于P點，點Q在AB上，且BQ=

2

3

．
（I）求證：QP∥平面AMD；
（Ⅱ）求七面體ABCDMN的體積．

Answer 1

分析：（I）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質可得MD∥NB．進而得到

BP

PM

=

NB

MD

=

1

2

，又已知

QB

QA

=

2 3

2- 2 3

=

1

2

，可得

QB

QA

=

BP

PM

，于是在△MAB中，QP∥AM．再利用線面平行的性質即可得出QP∥平面AMD．
（II）連接BD，AC交于點O，則AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質可得MD⊥AC，再利用線面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是AO為四棱錐A-MNBD的高，進而得到V_A-MNBD的體積．即可得出V_{幾何體ABCDMN}=2V_A-MNBD．

解答：（I）證明：∵MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴MD∥NB．
∴

BP

PM

=

NB

MD

=

1

2

，又

QB

QA

=

2 3

2- 2 3

=

1

2

，
∴

QB

QA

=

BP

PM

，
∴在△MAB中，QP∥AM．
又QP?平面AMD，AM?平面AMD．
∴QP∥平面AMD．
（II）連接BD，AC交于點O，則AC⊥BD．
又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥AC，又BD∩MD=D，
∴AC⊥平面MNBD．
∴AO為四棱錐A-MNBD的高，又SMNBD=

1

2

×(1+2)×2

2

=3

2

．
∴VA-MNBD=

1

3

×3

2

×

2

=2．
∴V_{幾何體ABCDMN}=2V_A-MNBD=4．

點評：熟練掌握線面平行于垂直的判定與性質、線線平行的判定與性質、四棱錐的體積等是解題的關鍵．