Question

設函數f(x)=

x

a(x+2)

，方程x=f（x）有唯一解，其中實數a為常數，f(x1)=

2

2013

，f（x_n）=x_n+1（n∈N^*）
（1）求f（x）的表達式；
（2）求x₂₀₁₁的值；
（3）若an=

4

xn

-4023且bn=

a 2 n+1 + a 2 n

2an+1an

(n∈N*)，求證：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

Answer 1

分析：（1）由方程x=f（x）有唯一解，則ax²+（2a-1）x=0有唯一解，知 a=

1

2

，由此能求出f（x）的表達式；
（2）由f（x_n）=x_n+1，知

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

 (n∈N*)，由 等差數列的定義可求出數列{x_n}的通項公式；
（3）由bn=

a 2 n+1 + a 2 n

2an+1an

=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(2n+1)(2n-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

b₁+b₂+…+b_n-n＜1，由此能證明b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

解答：解：（1）由

x

a(x+2)

=x，可化簡為ax（x+2）=x∴ax²+（2a-1）x=0
∴當且僅當a=

1

2

時，方程x=f（x）有唯一解．
從而f(x)=

2x

x+2

（2）由已知f（x_n）=x_n+1（n∈N^*），得

2xn

xn+2

=xn+1
∴

1

xn+1

=

1

2

+

1

xn

，即

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

 (n∈N*)
∴數列{

1

xn

}是以

1

x1

為首項，

1

2

為公差的等差數列．

1

xn

=

1

x1

+(n-1)×

1

2

=

(n-1)x1+2

2x1

，∴xn=

2x1

(n-1)x1+2

∵f(x1)=

2

2013

，
∴

2x1

x1+2

=

2

2013

，即x1=

1

1006

∴xn=

2× 1 1006

(n-1)× 1 1006 +2

=

2

n+2011

故x2011=

2

2011+2011

=

1

2011

（3）證明：∵xn=

2

n+2011

，
∴an=4×

n+2011

2

-4023=2n-1∴bn=

a 2 n+1 + a 2 n

2an+1an

=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(2n+1)(2n-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

∴b1+b2+bn-n=(1+1-

1

3

)+(1+

1

3

-

1

5

)++(1+

1

2n-1

-

1

2n+1

)-n=1-

1

2n+1

＜1
故b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意通項公式的求法和裂項公式的合理運用，屬于中檔題．