Question

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ) 若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：平面；

（II）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求二面角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：設(shè)，交于點(diǎn)，連接，易知為的中位線，

故，又平面，平面，得平面．

（Ⅱ）解：過(guò)做交于，過(guò)作交于,

由已知可知平面，，且,

過(guò)作交于,連接,由三垂線定理可知：為所求角

如圖，平面,,由三垂線定理可知，

在中，斜邊，，得,

在中，,得,由等面積原理得，B到CE邊的高為

則;  在中，,則，

故：

法2建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則,,;,

（I）設(shè)平面的法向量為，

則即；推出即, 平面。

（II）,故

【解析】

試題分析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則,,;,

（I）設(shè)平面的法向量為，

則即；即

令，則；又,故即,而平面所以平面。

（II）設(shè)平面的法向量為，,

則即；即

令，則；由題可知平面的法向量為

故,故

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、角計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路。對(duì)計(jì)算能力要求較高。