Question

已知命題P：不等式lg[x（1-x）+1]＞0的解集為{x|0＜x＜1}；命題Q：在三角形ABC中，∠A＞∠B是cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

）成立的必要而非充分條件，則（　　）

• A、P真Q假
• B、P且Q為真
• C、P或Q為假
• D、P假Q真

Answer 1

分析：此題和對數不等式與三角不等式相聯系考查的是判斷命題的真假問題．在解答時，對于命題P應充分考慮對數不等式的特點，先講0變成以10為底的對數，再利用對數函數的單調性找到變量的范圍，同時注意對數自身對變量的要求．對于命題Q應先對三角形式進行降冪，然后利用三角函數的單調性找到變量∠A、∠B的關系．

解答：解：由命題P：不等式lg[x（1-x）+1]＞0，可知lg[x（1-x）+1]＞lg1．∴x（1-x）+1＞1，∴0＜x＜1，即不等式的解為{x|0＜x＜1}；所以命題P為真命題．由命題Q知，若cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

），即sinA＞sinB，∴∠A＞∠B；反之，在三角形中若∠A＞∠B則必有sinA＞sinB，即cos²（

A

2

+

π

4

）＜cos²（

B

2

+

π

4

）成立，所以命題Q為假命題．
故選A．

點評：此題考查的是命題真假、對數不等式和三角不等式的綜合問題．在解答過程中要充分體會對數自身對變量的要求，三角恒等變換知識的應用以及命題真假判斷的規律．此題屬于較綜合類題目，值得同學們總結歸納．