Question

如圖，在直三棱柱（側棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，點D是AB的中點．
（1）求異面直線BC與AC₁的夾角；      
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析：（1）根據異面直線所成角的定義進行求解．（2）利用線面平行的判定定理判斷．

解答：解：（1）連結AB₁，由已知可得CB∥C₁B₁，CB=C₁B₁
∴CB與AC₁的夾角等于AC₁與C₁B₁的夾角…2
設直三棱柱高為x，由已知可得AC1=

x2+9

，C₁B₁=4，
AB1=

x2+25

，…5
顯然有AB12=C1B12+AC12．
∴AC₁⊥C₁B₁，即CB與與AC₁的夾角為90°…7
（2）連結C₁B交CB₁于E，再連結DE，
由已知可得E為C₁B的中點，…9
又∵D為AB的中點，∴DE為△BAC₁的中位線．
∴AC₁∥DE…12
又∵DE?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁
∴AC₁∥平面CDB₁…14

點評：本題主要考查空間異面直線所成角的確定和求法，以及空間直線和平面平行的判斷，要求熟練掌握相應的判定定理和性質定理．