Question

（2013•成都二模）如圖，在直三棱柱（側棱與底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2AB=2，∠BAC=90°，點D是側棱CC₁ 延長線上一點，EF是平面ABD與平面A₁B₁C₁的交線．
（I）求證：EF丄A₁C；
（II）當直線BD與平面ABC所成角的正弦值為

3 14

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時，求三棱錐D-EFC₁的體積．

Answer 1

分析：（I）利用面面平行的性質，可得EF∥AB，再證明AB⊥平面ACC₁A₁，可得AB⊥A₁C，從而可得結論；
（II）利用直線BD與平面ABC所成角的正弦值為

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，求出CD，再利用體積公式，即可得到結論．

解答：（I）證明：由題意，平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
∵平面ABC∩平面ABD=AB，平面A₁B₁C₁∩平面ABD=EF
∴EF∥AB
∵直三棱柱（側棱與底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，
∴AB⊥AA₁，AB⊥AC
∵AA₁∩AC=A
∴AB⊥平面ACC₁A₁
∵A₁C?平面ACC₁A₁
∴AB⊥A₁C
∴EF丄A₁C；
（II）解：當直線BD與平面ABC所成角的正弦值為

3 14

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時，CD=3
∴DC₁=1
∴S△EFC1=

1

2

×

2

3

×

1

3

=

1

9

∴VD-EFC1=

1

3

×

1

9

=

1

27

．

點評：本題考查面面平行的性質，考查線面垂直的判定，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．