Question

設實數a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a²對任意實數x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合是

[-

1

3

，

1

3

]

．

Answer 1

分析：根據所給的含有絕對值的不等式，設出所給的兩個變量之間的關系，對所給的絕對值不等式進行整理，得到最簡形式，根據函數的思想f（x）＞m恒成立，只要m＜f（x）的最小值．

解答：解：取k∈R，令x=

1

2

ka，則原不等式為|ka-a|+|

3

2

ka-2a|≥|a|²，即|a||k-1|+

3

2

|a||k-

4

3

|≥|a|²
由此易知原不等式等價于|a|≤|k-1|+

3

2

|k-

4

3

|，對任意的k∈R成立．
由于|k-1|+

3

2

|k-

4

3

|=

5 2 k-3，k≥ 4 3 1- 1 2 k，1≤k＜ 4 3 3- 5 2 k，k＜1

∵y=

5

2

k-3，在k≥

4

3

時，y≥

1

3

y=1-

1

2

k，在1≤k＜

4

3

時，

1

3

≤y＜

1

2

y=3-

5

2

k，k＜1時，y＞

1

2

所以|k-1|+

3

2

|k-

4

3

|的最小值等于

1

3

，
從而上述不等式等價于|a|≤

1

3

．
故答案為：[-

1

3

，

1

3

]

點評：本題考查函數的恒成立問題，考查含有絕對值的不等式的整理，考查函數的綜合題目中常用的解題思想，f（x）＞m恒成立，只要m＜f（x）的最小值，本題解題的關鍵是求出函數的最小值，本題是一個難題．