Question

設f(x)=a-

2

2x+1

，其中a為常數；
（1）f（x）為奇函數，試確定a的值；
（2）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，
∴2a=

2

2-x+1

+

2

2x+1

=

2•2x

1+2x

+

2

2x+1

=2，
∴a=1；
（2）f（x）+a＞0恒成立，即a-

2

2x+1

+a＞0，2a＞

2

2x+1

恒成立，等價于2a＞（

2

2x+1

）_max，
而2^x＞0，2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，
故2a≥2，解得a≥1，
故實數a的取值范圍[1，+∞）．