Question

點P（4，3），圓C：(x-m)²+y²=3(m＜3)與橢圓E：有一個公共點A（2，），F₁，F₂分別是橢圓的左、右焦點，直線PF₁與圓C相切，M，N為橢圓上異于A的兩點，
(Ⅰ)求m的值與橢圓E的方程；
(Ⅱ)若直線AM的斜率與AN的斜率互為相反數，求證：直線MN的斜率為；
(Ⅲ)在(Ⅱ)條件下△AMN面積是否存在最大值；若存在，請求出其最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)點A代入圓C方程，得（2-m）²+2=3，
∵m＜3，
∴m=1，圓C：，
設直線PF₁的斜率為k，則PF₁：，
即，
∵直線PF₁圓C相切，
∴，解得或，
當時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去；
當時，直線PF₁與x軸的交點橫坐標為-2，
∴c=2，，
，
∴橢圓E的方程為。
(Ⅱ)記A(s，t)，令直線AM的斜率為k，
那么直線AM的方程為y-t=k(x-s)，
記M，N兩點坐標分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
由得，
，①
s，x₁是方程①的兩根，所以有，
∴，
同理可得：，
∴，
∴。
(Ⅲ)不妨設直線MN的方程為，
由得，②
x₁，x₂是方程②的兩根，所以有，
∴△AMN面積，
∴
，
所以，當m²=4即m=2或m=-2時，S_△AMN取得最大值2。